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银翁游梦 发表于  2018-09-12 10:41:00 20362字 ( 0/248)

从“代数”开始,去理解数学

从“代数”开始,去理解数学

原创于: 2018-09-10 20:47:20

标签: 杂谈

 

 (银翁游梦:万少运)

数学真奇特,又非常美妙。从认知数学到理解数学,再到应用数学,让人能从中找到众多乐趣,使人从中受到不少感悟。在《数学认知》中,我们探索了数的起源,从而,否定了数是上帝创造的;也否定了数是客观世界本来存在的,或是人们头脑中生来就固有的;……揭开了“0”的神秘面纱,惊叹,“0”介于“有”与“无”之间,既是“数”,又不是“自然数”,……数学中,还有多少奥秘需要人们去探索?还有多少奇妙需要人们去理解?下面,就从“代数”开始,去理解数学吧!

 什么是代数?

⑴ 如果,望文生义: 代数,简单地从字面上来理解,就是用文字或字母代替数字。

这错了吗?没错。代数,最初就是特指用英文字母代替数字。如a=1,b=2,c=0,用x、y、z分别代表三个未知数,……等等。

但这只是“代数”,这个词组的由来。

⑵代数,不仅是代替“数字”,也代表“数类”,即用不同的外文字母代表不同类别的数集。如:N——自然数集, R——实数集,C——复数集,Z——整数集,Q——有理数集,……等等。当然,如果用字符代替“数集”,这就涉及到“集合”的理论;待我们理解单纯的所谓“代数”之后,还是要进一步认识“代集”与“代数”的区别及不同性质与演算的要求。

⑶ 代数,也可代表“量”;可以代表“数量”,或者代表“物量”,即某类物体、某种性能的数量。这都看在对字母所代表的对象,作如何设定。但是凡带有“量”的数量,都涉及到事物属性和共性;如空间属性:方位、距离、面积、体积等(几何量);时间性属性;物理能量属性;化学反应变化量性属;生物活动量等属性……这也就是进入了数学应用的领域,从而体现数学是一门应用性很强的工具性学科。

⑷ 代数,用字母表示数,渗透了从具体数量向字母代表的数群、数域、数类过渡的抽象概括的思维方法。用字母表示数量,进而表示数量群类的共同性质、运算性质和法则,揭示了一些普遍现象,形式简单,使用方便。说明数学也是一门逻辑性很强的认识论学科。

【理解代数,首先就要明白这个“代”字所表达的形式,它的作用和意义。而代数学的关键,则是要抓住“代数式”这个牛鼻子。其它,如方程、函数、微积分等,都是代数式的变化和推演及解算。】

(二)代数学

⑴ 代数,在我国作为一个数学专有名词,代表一门数学分支(代数学)。

代数,这个名词,它在我国正式使用,最早是在1859年。那年,清代的数学家李善兰和英国人韦列亚力,共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书,译本的名称就叫做《代数学》。当然,代数的内容和方法,我国古代早就产生了,比如《九章算术》中就有解方程问题。

⑵ 代数是由算术演变来的,这是毫无疑问的。

在古代,当算术里积累了大量的,关于各种数量问题的解法后,为了寻求有系统的、更普遍的方法,以解决各种数量关系的问题,就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。至于什么年代产生的代数学这门学科,就很不容易说清楚了。

如果“代数学”, 仅是指解ax+b=0这类用符号表示的方程的技巧。那么,这种“代数学”是在十六世纪才发展起来的。如果我们对代数符号不是要求象现在这样简练,那么,代数学的产生可上溯到更早的年代。西方人将公元前三世纪古希腊数学家丢番图,看作是代数学的鼻祖。而在中国,用文字来表达的代数问题出现的就更早了。

(3)初等代数的中心内容是解方程

因而长期以来,都把代数学理解成关于觧方程的学科,数学家们也把主要精力集中在设方程和觧方程的研究上。它的研究方法是具有高度的计算性。

要讨论“方程”,首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式,然后根据等量关系列出方程式。所以初等代数的一个重要内容就是代数式。由于事物中的数量关系的不同,大体上初等代数形成了整式、分式和根式这三大类代数式。

在初等代数的产生和发展的过程中,通过解方程的研究,也促进了数的概念的进一步发展,将算术中讨论的整数和分数的概念扩充到有理数的范围。这是初等代数的又一重要内容,就是数的概念的扩充。 有了有理数,初等代数能解决的问题就大大的扩充了。

但是,有些方程在有理数范围内仍然没有“解”。于是,数的概念再一次扩充到了实数,进而又进一步扩充到了复数。 那么到了复数范围内是不是仍然还有方程没有“解”,还必须把复数再进行扩展呢?数学家们说:不用了。这就是代数里的一个著名的定理——代数基本定理。

这个定理,简单地说,就是n次方程有n个根。1742年12月15日瑞士数学家欧拉曾在一封信中明确地做了陈述,后来另一个数学家、德国的高斯在1799年给出了严格的证明。(这个代数基定理的证明,牵涉到不少高等数学的知识。这里只提一下,就不作详细叙述了。)

⑷ 代数的基本内容:

把上面分析过的内容综合起来,组成初等代数的基本内容就是:

三种数——有理数、无理数、复数。

三种式——整式、分式、根式。

中心内容是解方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程组。

初等代数的内容大体上相当于现代中学设置的代数课程的内容,但又不完全相同。比如,严格的说,数的概念、排列和组合应归入算术的内容;函数是分析数学的内容;不等式的解法有点像解方程的方法,但不等式作为一种估算数值的方法,本质上是属于分析数学的范围;坐标法是研究解析几何的……。这些都只是历史上形成的一种编排方法。

(5) 初等代数是算术的继续和推广

初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。代数运算的特点是只进行有限次的运算。全部初等代数总起来有十条规则。这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。

这十条规则是:

五条基本运算律:加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律;

两条等式基本性质:等式两边同时加上一个数,等式不变;等式两边同时乘以一个非零的数,等式不变;

三条指数律:同底数幂相乘,底数不变指数相加;指数的乘方等于底数不变、指数相乘;积的乘方等于乘方的积。

⑹ 初等代数学向两个方面发展

一方面是研究未知数更多的一次方程组;另一方面是研究未知数次数更高的高次方程。这时候,代数学已由初等代数向着高等代数的方向发展了。

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