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一代数学天骄 发表于  2020-04-05 12:37:04 2538字 ( 0/185)

昭告天下:我完成了n=3的美妙证明,使费马大定理这个让人感觉比登天还难的难题变成了平坦流畅的思维通途,让对费马大定理问题感兴趣的人开开眼界。

       在不定方程y^3=a^3+3a^2x+3ax^2的两侧同时加上x^3,则有x^3+y^3=a^3+3a^2x+3ax^2+x^3,则得x^3+y^3=(a+x)^3,令z=a+x,这样就得x^3+y^3=z^3,因此不定方程y^3=a^3+3a^2x+3ax^2与x^3+y^3=z^3是等价命题,也就是说只要证明了不定方程y^3=a^3+3a^2x+3ax^2无整数解,也就证明了不定方程x^3+y^3=z^3无整数解。 证明不定方程y^3=a^3+3a^2x+3ax^2无整数解的过程如下:

y^3=a^3+3a^2x+3ax^2 (1)

3ax^2+3a^2x-(y^3-a^3)=0 (2)

经过移项处理,得到的(2)式是关于x为未知数的一元二次方程式。由于我的电脑操作基础知识不好,不会打印一元二次方程式的求根公式,请谅解。我们知道在(2)式的求根公式根号里面的关系式是:(3a^2)^2+12a(y^3-a^3),要证明(2)式的未知数x有没有整数解,就是要证明根号里面的这个关系式在其变化过程中是否有平方数存在,现在对这个关系式作变形处理如下:

(3a^2)^2+12a(y^3-a^3)=(3a^2)^2+12a(y-a)(y^2+ya+a^2)

=(3a^2)^2+12a(y-a)a^2+12a(y-a)(y^2+ya)

=(3a^2)^2+2·3a^2·2a(y-a)+4a^2(y-a)^2+12a(y-a)(y^2+ya)-4a^2(y-a)^2

=[3a^2+2a(y-a)]^2+4a(y-a)[3y^2+3ya-a(y-a)]

=(2ay+a^2)^2+4a(y-a)(3y^2+2ya+a^2)

即有(3a^2)^2+12a(y^3-a^3)=(2ay+a^2)^2+4a(y-a)(3y^2+2ya+a^2) (3)

接下来模仿(3)式右端的结构形式构造一个相应的平方数关系式如下:

[2ay+a^2+2ka(y-a)]^2=(2ay+a^2)^2+D,则有

D=[2ay+a^2+2ka(y-a)]^2-(2ay+a^2)^2

=2ka(y-a)(4ay+2a^2+2kay-2ka^2)

=4ka(y-a)(2ay+a^2+kay-ka^2)

即有[2ay+a^2+2ka(y-a)]^2=(2ay+a^2)^2+4ka(y-a)(2ay+a^2+kay-ka^2) (4)

要使(3)式左端与(4)式左端相等,即使(3a^2)^2+12a(y^3-a^3)=[2ay+a^2+2ka(y-a)]^2成立,应有

4a(y-a)(3y^2+2ya+a^2)=4ka(y-a)(2ay+a^2+kay-ka^2) (5)

因为y>a,因此y≠a,所以有

3y^2+2ya+a^2=2kay+ka^2+k^2ay-k^2a^2

把上式整理为y为未知数的一元二次方程式形式有

3y^2-(k^2+2k-2)ay+(k^2-k+1)a^2=0 (6)

在(6)式里的y有没有整数解,同样要看求根公式根号里面的关系式在其变化过程中是否有平方数存在,根号里面的关系式为:[(k^2+2k-2)^2-12(k^2-k+1)]a^2,经过进一步变形处理,这个关系式化简为:k^4+4k^3-12k^2+4k-8。当k=2时,这个关系式的计算结果等于0,因此k值的取值范围为k>2的一切整数,经过试算得到下式

(k^2+2k-8)^2<k^4+4k^3-12k^2+4k-8<(k^2+2k-5)^2

在平方数(k^2+2k-8)^2和平方数(k^2+2k-5)^2之间存在两个平方数,即(k^2+2k-7)^2和(k^2+2k-6)^2,这两个平方数的展开式如下

(k^2+2k-7)^2=k^4+4k^3-10k^2-28k+49

(k^2+2k-6)^2=k^4+4k^3-8k^2-24k+36

依据上述展开式建立数量关系式如下

k^4+4k^3-10k^2-28k+49=k^4+4k^3-12k^2+4k-8

k^4+4k^3-8k^2-24k+36=k^4+4k^3-12k^2+4k-8

化简上述这两个关系式分别得到2k^2-32k+57=0和k^2-7k+11=0,求解的结果是这两个方程式的k值都没有整数解,因此k^4+4k^3-12k^2+4k-8与(k^2+2k-7)^2和(k^2+2k-6)^2不存在等量关系,也就是说k^4+4k^3-12k^2+4k-8是一个非平方数,因此当k的取值为k>2的一切整数时,由(6)式通过求根公式求得的y值都无整数解,这说明k取k>2的一切整数时与其对应的y值没有同为整数解的情形存在;同时,又因为k取k>2的一切整数时与其对应的y值没有同为整数解的情形存在,所以反过来看当y值取y>a的一切整数时求得的k值没有整数解的情形存在,因此(3a^2)^2+12a(y^3-a^3)与在前面构造的平方数[2ay+a^2+2ka(y-a)]^2不存在等量关系,这就证明(3a^2)^2+12a(y^3-a^3)在其变化过程中没有平方数存在。

      由于(3a^2)^2+12a(y^3-a^3)在其变化过程中没有平方数存在,因此由(2)式通过求根公式求得的每一个x值都无整数解,这样就证明了不定方程y^3=a^3+3a^2x+3ax^2无整数解,则x^3+y^3=z^3无整数解的命题得证。

昆明市富民县永定街道办   刘坤

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